- Historia de las matematicas. Jean Paul Collete. Volumen 2. pag 192-193
- Articulo "Historia del concepto de función" traducido por Covadonga Escandón Martínez
lunes, 5 de octubre de 2009
BIBLIOGRAFIA
miércoles, 2 de septiembre de 2009
ORIGENES DEL CONCEPTO FUNCION
Una función es una regla de correspondencia entre 2 conjuntos; A y B; que asigna a cada elemento x del conjunto A, exactamente un elemento y del conjunto B. El conjunto A es el dominio de la función (valores en x o conjunto de entrada) y el conjunto B es el codominio (valores en y o conjunto de salida). Para hablar de funciones y no de relaciones se debe tomar en cuenta que: *algunos elementos del conjunto B pueden NO estar unidos a ningún elemento del conjunto A, pero todos los elementos del conjunto A deben tener asignado UN valor del conjunto B; y * dos o mas elementos del conjunto A pueden estar unidos con el mismo elemento del conjunto B. Las funciones pueden ser representadas mediante conjuntos de pares ordenados o por ecuaciones.
El concepto función aparece frecuentemente en el estudio de las matemáticas en general (álgebra, trigonometría y geometría analítica), pero en calculo ocupa un lugar central. Pero ¿quien invento este concepto?, ¿cuando se invento? ¿porque? Es algo extraño el hecho de que el concepto de función haya surgido después que el cálculo diferencial e integral, ya que generalmente el estudio de este inicia con funciones, luego con límites, derivadas e integrales.
Bueno, el concepto de función comienza con las primeras relaciones observadas entre dos variables; esto es desde el comienzo del desarrollo de las matemáticas, es decir, entre los babilonios y los egipcios. Ya que se podría decir que los babilonios tenían una idea de las funciones mediante sus tablas de cuadrados de los números naturales, cubos de los números naturales y recíprocos de los números naturales por que son correspondencias, (pero no se les toma en cuenta). En las matemáticas griegas aparece Ptolomeo quien computó cuerdas de un círculo, es decir, computó funciones trigonométricas aunque lo mas probable es que no conocía lo que era una función. Con los trabajos de Galileo, se inicia una relación matemática explícita; se acerco mucho al concepto de función ya que, sus estudios sobre el movimiento contienen la clara comprensión de una relación entre variables. Por decir, en 1638 estudió el problema de dos círculos concéntricos con centro O, en el cual le asignaba a cada punto de A un punto de B. También hizo una correspondencia uno a uno estándar entre los enteros positivos y sus cuadrados; mas o menos en esos tiempos Descartes publico un Discurso sobre el Método de Conducir Rectamente la Razón y Buscar la Verdad de las Ciencias, en el año de 1637 escribió su obra La Geometrie en donde introdujo el algebra a la geometría, afirmo que una curva puede dibujarse si a una línea le asignan un numero de valores infinitos, y conceptualizo un sistema de coordenadas cartesianas.
La palabra función en el sentido no matemático fue adoptado en 1673 por Leibniz; la cual se definía como; cualquier cantidad que varía a lo largo de una curva; Johan Bernoulli en una carta para Leibniz describe la palabra función como: una cantidad formada de alguna manera apartir de cantidades indeterminadas y constantes. Conforme paso el tiempo, la palabra comenzó a difundirse y mejorarse. .A principios del siglo XVIII, algunos matemáticos se preguntan por la justificación de los procedimientos y las dificultades encontradas en el desarrollo de los principios y métodos del cálculo diferencial e integral. Entre estas dificultades de todas clases, pueden subrayarse las más importantes: el concepto de función es vago e impreciso; el uso abundante de las series infinitas sin tener en cuenta el concepto de convergencia conlleva el nacimiento de paradojas y de resultados incongruentes; las diversas tentativas para representar funciones mediante series de potencias, y en particular con la ayuda de series trigonométricas, se añaden a la confusión ya existente; finalmente, los conceptos fundamentales de límite, derivada e integral deben ser redefinidos con bastante más claridad y precisión En el siglo XVIII hubo confrontaciones entre algunos matemáticos al no estar de acuerdo con algunas variaciones del concepto; entre ellos estaba Euler y d’ Alembert. Ya que en 1748 el concepto función se dio a conocer en las matemáticas con la publicación de la obra: introductio in analysin infinitorum de Euler en el cual definió una función de cantidad variable como una expresión analítica compuesta de cualquier manera apartir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes; también realizo un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales él divide sus funciones en algebraicas y trascendentes (exponenciales, logaritmos…) el problema en el trabajo de Euler fue que no supo distinguir entre una función y su representación, para Euler una función continua se expresaba mediante una única expresión analítica (expresiones formadas por operaciones comunes de suma multiplicación, raíces, etc.), una función mixta se expresaba en términos de dos o mas expresiones analíticas, y una función discontinua incluía funciones mixtas pero eran mas generales, según tenían curvas dibujadas arbitrariamente como sus graficas, pero este concepto actualmente expresa el significado de las funciones continuas.
La representación de funciones se desarrolló gracias a la controversia suscitada a propósito del problema de la cuerda vibrante entre Euler y D’alembert porque en 1746 D’alembert publico la solución al problema de una cuerda tensa que vibra, diciendo que la función que determinaba la velocidad de cada uno de los puntos de la cuerda debía de ser expresada mediante una sola expresión analítica, pero Euler no estaba de acuerdo. . Euler, D'Alembert y Bernoulli encontraron soluciones a este problema en términos de funciones llamadas «arbitrarias» o de series infinitas de funciones trigonométricas, mientras que Lagrange, por su parte, introdujo una innovación al fundamentar el concepto de función sobre la serie de potencias.
En 1755 Euler publico otro libro “institutiones calculi differentialis” en este da una definición general del concepto función, decía: Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas. Esta definición se aplica de manera más bien amplia e incluye todas las formas en que una cantidad puede ser determinada por otra. Si, por lo tanto, x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x de cualquier modo, o que son determinadas por ella, son llamadas funciones de x.
Aunque esta era prácticamente una definición totalmente aceptable, Euler la regó al desarrollar el cálculo diferencial de su libro usando solo funciones analíticas.
Poco a poco otros matemáticos fueron dándose cuenta de los errores que había cometido Euler; Cauchy fue uno de ellos, en 1844 demostró que una función mixta, dada por distintas formulas a veces si podía expresarse como un a sola formula la función y = x para x≥0, y = -x para x < 0
Podía expresarse mediante la fórmula y = √(x²)., por lo que evidencio que no tenia caso dividir las funciones como lo había hecho Euler (continuas y mixtas). También Fourier, demostró que la diferencia entre funciones continuas y discontinuas de Euler no existía, ya que se podían representar mediante lo que hoy llamamos series de Fourier
Condorcet retomo la definición general de Euler de 1755 .En 1778 Condorcet envío Traité du calcul integral a la Academia de París pero no fue publicado a pesar de eso muchos matemáticos franceses lo vieron. Condorcet distingue tres tipos de funciones: funciones explícitas, implícitas dadas solo por ecuaciones no resueltas y funciones que se definen a partir de consideraciones físicas tales como las que son solución de una ecuación diferencial.
Cauchy, en 1821, dio una definición en su obra Cours d’analyse:
Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de una de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las otras; uno ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas mediante una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; las otras cantidades expresadas mediante la variable independiente son aquellas a las que se llaman funciones de esta variable.
Fourier, en Théorie analytique de la Chaleur en 1822, dio la siguiente definición:
En general, la función ƒ(x) representa una sucesión de valores u ordenadas cada uno de los cuales es arbitrario. Dados una infinidad de valores de la abscisa x, hay un número igual de ordenadas ƒ(x). Todas tienen valores numéricos, ya sean positivos, negativos o cero. No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen unas a otras de una forma cualquiera y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad sola. .Los trabajos de Fourier muestran también que se puede representar una función en un intervalo completo, Además, hacen más aceptables las representaciones de funciones efectuadas por Euler y Laplace por medio de las funciones de Bessel y los polinomios de Legendre, y muestran cómo se puede resolver una ecuación diferencial teniendo en cuenta las condiciones en los límites impuestas a la solución de la ecuación
En el siglo XIX se estableció que el concepto de función no necesitaba de una formula explicita. En 1829 Dirichlet demostró algunos resultados en relación a las series de Fourier y aclaro las diferencias entre una función
Y en 1837, Peter Gustav Lejeune Dirichlet formulo la base de la definición moderna, aceptó la definición de función de Fourier e inmediatamente de dar esta definición, definió una función continua (usando continuo en el sentido moderno). Dirichlet también dio un ejemplo de una función definida en el intervalo [0,1] que es discontinua en todos sus puntos; ésta es ƒ(x) definida como 0 si x es racional y 1 si x es irracional. Después de esto algunos matemáticos dieron su propia definición que variaban muy poco:En 1838, Lobachevsky dio una definición de una función general que todavía necesitaba que ésta fuera continua:
Una función de x es un número que está dado para cada x y que cambia gradualmente junto con x. El valor de la función puede estar dado mediante una expresión analítica o mediante una condición que ofrece una manera de probar todos los números y seleccionar uno de ellos o, finalmente, la dependencia puede existir pero ser desconocida.
Sin duda la función discontinua en todos los puntos de Dirichlet no sería una función bajo la definición de Lobachervsky. Hankel, en 1870, deploró la confusión que aún reinaba sobre el concepto de función:
Una persona define función esencialmente en el sentido de Euler, otra requiere que y debe cambiar con x según alguna ley, sin dar una explicación de este obscuro concepto; la tercer la define en la misma manera que Dirichlet, la cuarta sin más no la define. Sin embargo, todo el mundo deduce de su concepto conclusiones que no están contenidas en él.
El concepto función aparece frecuentemente en el estudio de las matemáticas en general (álgebra, trigonometría y geometría analítica), pero en calculo ocupa un lugar central. Pero ¿quien invento este concepto?, ¿cuando se invento? ¿porque? Es algo extraño el hecho de que el concepto de función haya surgido después que el cálculo diferencial e integral, ya que generalmente el estudio de este inicia con funciones, luego con límites, derivadas e integrales.
Bueno, el concepto de función comienza con las primeras relaciones observadas entre dos variables; esto es desde el comienzo del desarrollo de las matemáticas, es decir, entre los babilonios y los egipcios. Ya que se podría decir que los babilonios tenían una idea de las funciones mediante sus tablas de cuadrados de los números naturales, cubos de los números naturales y recíprocos de los números naturales por que son correspondencias, (pero no se les toma en cuenta). En las matemáticas griegas aparece Ptolomeo quien computó cuerdas de un círculo, es decir, computó funciones trigonométricas aunque lo mas probable es que no conocía lo que era una función. Con los trabajos de Galileo, se inicia una relación matemática explícita; se acerco mucho al concepto de función ya que, sus estudios sobre el movimiento contienen la clara comprensión de una relación entre variables. Por decir, en 1638 estudió el problema de dos círculos concéntricos con centro O, en el cual le asignaba a cada punto de A un punto de B. También hizo una correspondencia uno a uno estándar entre los enteros positivos y sus cuadrados; mas o menos en esos tiempos Descartes publico un Discurso sobre el Método de Conducir Rectamente la Razón y Buscar la Verdad de las Ciencias, en el año de 1637 escribió su obra La Geometrie en donde introdujo el algebra a la geometría, afirmo que una curva puede dibujarse si a una línea le asignan un numero de valores infinitos, y conceptualizo un sistema de coordenadas cartesianas.
La palabra función en el sentido no matemático fue adoptado en 1673 por Leibniz; la cual se definía como; cualquier cantidad que varía a lo largo de una curva; Johan Bernoulli en una carta para Leibniz describe la palabra función como: una cantidad formada de alguna manera apartir de cantidades indeterminadas y constantes. Conforme paso el tiempo, la palabra comenzó a difundirse y mejorarse. .A principios del siglo XVIII, algunos matemáticos se preguntan por la justificación de los procedimientos y las dificultades encontradas en el desarrollo de los principios y métodos del cálculo diferencial e integral. Entre estas dificultades de todas clases, pueden subrayarse las más importantes: el concepto de función es vago e impreciso; el uso abundante de las series infinitas sin tener en cuenta el concepto de convergencia conlleva el nacimiento de paradojas y de resultados incongruentes; las diversas tentativas para representar funciones mediante series de potencias, y en particular con la ayuda de series trigonométricas, se añaden a la confusión ya existente; finalmente, los conceptos fundamentales de límite, derivada e integral deben ser redefinidos con bastante más claridad y precisión En el siglo XVIII hubo confrontaciones entre algunos matemáticos al no estar de acuerdo con algunas variaciones del concepto; entre ellos estaba Euler y d’ Alembert. Ya que en 1748 el concepto función se dio a conocer en las matemáticas con la publicación de la obra: introductio in analysin infinitorum de Euler en el cual definió una función de cantidad variable como una expresión analítica compuesta de cualquier manera apartir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes; también realizo un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales él divide sus funciones en algebraicas y trascendentes (exponenciales, logaritmos…) el problema en el trabajo de Euler fue que no supo distinguir entre una función y su representación, para Euler una función continua se expresaba mediante una única expresión analítica (expresiones formadas por operaciones comunes de suma multiplicación, raíces, etc.), una función mixta se expresaba en términos de dos o mas expresiones analíticas, y una función discontinua incluía funciones mixtas pero eran mas generales, según tenían curvas dibujadas arbitrariamente como sus graficas, pero este concepto actualmente expresa el significado de las funciones continuas.
La representación de funciones se desarrolló gracias a la controversia suscitada a propósito del problema de la cuerda vibrante entre Euler y D’alembert porque en 1746 D’alembert publico la solución al problema de una cuerda tensa que vibra, diciendo que la función que determinaba la velocidad de cada uno de los puntos de la cuerda debía de ser expresada mediante una sola expresión analítica, pero Euler no estaba de acuerdo. . Euler, D'Alembert y Bernoulli encontraron soluciones a este problema en términos de funciones llamadas «arbitrarias» o de series infinitas de funciones trigonométricas, mientras que Lagrange, por su parte, introdujo una innovación al fundamentar el concepto de función sobre la serie de potencias.
En 1755 Euler publico otro libro “institutiones calculi differentialis” en este da una definición general del concepto función, decía: Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas. Esta definición se aplica de manera más bien amplia e incluye todas las formas en que una cantidad puede ser determinada por otra. Si, por lo tanto, x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x de cualquier modo, o que son determinadas por ella, son llamadas funciones de x.
Aunque esta era prácticamente una definición totalmente aceptable, Euler la regó al desarrollar el cálculo diferencial de su libro usando solo funciones analíticas.
Poco a poco otros matemáticos fueron dándose cuenta de los errores que había cometido Euler; Cauchy fue uno de ellos, en 1844 demostró que una función mixta, dada por distintas formulas a veces si podía expresarse como un a sola formula la función y = x para x≥0, y = -x para x < 0
Podía expresarse mediante la fórmula y = √(x²)., por lo que evidencio que no tenia caso dividir las funciones como lo había hecho Euler (continuas y mixtas). También Fourier, demostró que la diferencia entre funciones continuas y discontinuas de Euler no existía, ya que se podían representar mediante lo que hoy llamamos series de Fourier
Condorcet retomo la definición general de Euler de 1755 .En 1778 Condorcet envío Traité du calcul integral a la Academia de París pero no fue publicado a pesar de eso muchos matemáticos franceses lo vieron. Condorcet distingue tres tipos de funciones: funciones explícitas, implícitas dadas solo por ecuaciones no resueltas y funciones que se definen a partir de consideraciones físicas tales como las que son solución de una ecuación diferencial.
Cauchy, en 1821, dio una definición en su obra Cours d’analyse:
Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de una de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las otras; uno ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas mediante una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; las otras cantidades expresadas mediante la variable independiente son aquellas a las que se llaman funciones de esta variable.
Fourier, en Théorie analytique de la Chaleur en 1822, dio la siguiente definición:
En general, la función ƒ(x) representa una sucesión de valores u ordenadas cada uno de los cuales es arbitrario. Dados una infinidad de valores de la abscisa x, hay un número igual de ordenadas ƒ(x). Todas tienen valores numéricos, ya sean positivos, negativos o cero. No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen unas a otras de una forma cualquiera y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad sola. .Los trabajos de Fourier muestran también que se puede representar una función en un intervalo completo, Además, hacen más aceptables las representaciones de funciones efectuadas por Euler y Laplace por medio de las funciones de Bessel y los polinomios de Legendre, y muestran cómo se puede resolver una ecuación diferencial teniendo en cuenta las condiciones en los límites impuestas a la solución de la ecuación
En el siglo XIX se estableció que el concepto de función no necesitaba de una formula explicita. En 1829 Dirichlet demostró algunos resultados en relación a las series de Fourier y aclaro las diferencias entre una función
Y en 1837, Peter Gustav Lejeune Dirichlet formulo la base de la definición moderna, aceptó la definición de función de Fourier e inmediatamente de dar esta definición, definió una función continua (usando continuo en el sentido moderno). Dirichlet también dio un ejemplo de una función definida en el intervalo [0,1] que es discontinua en todos sus puntos; ésta es ƒ(x) definida como 0 si x es racional y 1 si x es irracional. Después de esto algunos matemáticos dieron su propia definición que variaban muy poco:En 1838, Lobachevsky dio una definición de una función general que todavía necesitaba que ésta fuera continua:
Una función de x es un número que está dado para cada x y que cambia gradualmente junto con x. El valor de la función puede estar dado mediante una expresión analítica o mediante una condición que ofrece una manera de probar todos los números y seleccionar uno de ellos o, finalmente, la dependencia puede existir pero ser desconocida.
Sin duda la función discontinua en todos los puntos de Dirichlet no sería una función bajo la definición de Lobachervsky. Hankel, en 1870, deploró la confusión que aún reinaba sobre el concepto de función:
Una persona define función esencialmente en el sentido de Euler, otra requiere que y debe cambiar con x según alguna ley, sin dar una explicación de este obscuro concepto; la tercer la define en la misma manera que Dirichlet, la cuarta sin más no la define. Sin embargo, todo el mundo deduce de su concepto conclusiones que no están contenidas en él.
martes, 1 de septiembre de 2009
PRECURSORES
Muchos personajes aportaron su granito para realizar el concepto de funcion los primeros fueron: 
Ptolomeo propuso el sistema geocéntrico como la base de la mecánica celeste que perduró por mas de 1400 años.Nació en Egipto aproximadamente en el año 85 d.C. y murió en Alejandría en el año 165 d.C.Las obras mas importantes de Ptolomeo son: El Almagesto cuyo titulo original era Colección Matemática y, posteriormente, Gran Compilación, pero que desde siempre se ha conocido por su traducción al Árabe. En esta obra presenta la teoría geocéntrica que se mantuvo hasta la critica realizada por Nicolas Copernico en su libro De revolutionibus (1543), y que posteriormente fue reforzada y ampliada por Galileo y Kepler.Publicó unas tablas derivadas de las teorías del Almagesto pero independientemente llamadas Tablas de mano las cuales solo se conocen por referencias escritas.
Oresme, hacia 1325 - Lisieux, 1382) Matemático y astrónomo francés. Estudió Teología en París, donde sabemos que se encontraba en 1348. En 1356 era "magister" en el Colegio de Navarra (París) y a continuación obtuvo el grado de "magister theologiae". Canónigo en Ruán y en París, fue obispo de Lisieux a partir de 1377.
Este singular escolástico y teólogo de la Baja Edad Media es famoso por la genialidad y la modernidad de sus gustos científicos y culturales. Cultivador de la "geometría especulativa" en el Tratado de la latitud de las formas, en el Algorismo de las proporciones, en el De difformitate quantitatum (1370) y en otros trabajos todavía inéditos, anticipa muchos aspectos de la matemática moderna, como la representación analítica de las variaciones intensivas mediante el método de las coordinadas, el tratado de los irracionales mediante potencias con exponente fraccionario y el espacio cuatridimensional. Como físico, considera posible el movimiento diurno de la Tierra, y descubrió que el movimiento de los graves es uniformemente acelerado.
Galileo galilei Pisa, actual Italia, 1564-Arcetri, id., 1642) Físico y astrónomo italiano. Fue el primogénito del florentino Vincenzo Galilei, músico por vocación aunque obligado a dedicarse al comercio para sobrevivir. En 1574 la familia se trasladó a Florencia, y Galileo fue enviado un tiempo –quizá como novicio– al monasterio de Santa Maria di Vallombrosa, hasta que, en 1581, su padre lo matriculó como estudiante de medicina en la Universidad de Pisa. Pero en 1585, tras haberse iniciado en las matemáticas fuera de las aulas, abandonó los estudios universitarios sin obtener ningún título, aunque sí había adquirido gusto por la filosofía y la literatura.En 1589 consiguió una plaza, mal remunerada, en el Estudio de Pisa. Allí escribió un texto sobre el movimiento, que mantuvo inédito, en el cual criticaba los puntos de vista de Aristóteles acerca de la caída libre de los graves y el movimiento de los proyectiles; una tradición apócrifa, pero muy divulgada, le atribuye haber ilustrado sus críticas con una serie de experimentos públicos realizados desde lo alto del Campanile de Pisa.
En 1592 pasó a ocupar una cátedra de matemáticas en Padua e inició un fructífero período de su vida científica: se ocupó de arquitectura militar y de topografía, realizó diversas invenciones mecánicas, reemprendió sus estudios sobre el movimiento y descubrió el isocronismo del péndulo. En 1599 se unió a la joven veneciana Marina Gamba, de quien se separó en 1610 tras haber tenido con ella dos hijas y un hijo.
En julio de 1609 visitó Venecia y tuvo noticia de la fabricación del anteojo, a cuyo perfeccionamiento se dedicó, y con el cual realizó las primeras observaciones de la Luna; descubrió también cuatro satélites de Júpiter y observó las fases de Venus, fenómeno que sólo podía explicarse si se aceptaba la hipótesis heliocéntrica de Copérnico. Galileo publicó sus descubrimientos en un breve texto, El mensajero sideral, que le dio fama en toda Europa y le valió la concesión de una cátedra honoraria en Pisa.
En 1611 viajó a Roma, donde el príncipe Federico Cesi lo hizo primer miembro de la Accademia dei Lincei, fundada por él, y luego patrocinó la publicación (1612) de las observaciones de Galileo sobre las manchas solares. Pero la profesión de copernicanismo contenida en el texto provocó una denuncia ante el Santo Oficio; en 1616, tras la inclusión en el Índice de libros prohibidos de la obra de Copérnico, Galileo fue advertido de que no debía exponer públicamente las tesis condenadas. Su silencio no se rompió hasta que, en 1623, alentado a raíz de la elección del nuevo papa Urbano VIII, publicó El ensayador, donde expuso sus criterios metodológicos y, en particular, su concepción de las matemáticas como lenguaje de la naturaleza. La benévola acogida del libro por parte del pontífice lo animó a completar la gran obra con la que pretendía poner punto final a la controversia sobre los sistemas astronómicos, y en 1632 apareció, finalmente, su Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo; la crítica a la distinción aristotélica entre física terrestre y física celeste, la enunciación del principio de la relatividad del movimiento, así como el argumento del flujo y el reflujo del mar presentado (erróneamente) como prueba del movimiento de la Tierra, hicieron del texto un verdadero manifiesto copernicano.
El Santo Oficio abrió un proceso a Galileo que terminó con su condena a prisión perpetua, pena suavizada al permitírsele que la cumpliera en su villa de Arcetri. Allí transcurrieron los últimos años de su vida, ensombrecidos por la muerte de su hija Virginia, por la ceguera y por una salud cada vez más quebrantada. Consiguió, con todo, acabar la última de sus obras, los Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias, donde, a partir de la discusión sobre la estructura y la resistencia de los materiales, demostró las leyes de caída de los cuerpos en el vacío y elaboró una teoría completa sobre el movimiento de los proyectiles. El análisis galileano del movimiento sentó las bases físicas y matemáticas sobre las que los científicos de la siguiente generación edificaron la mecánica física.
René Descartes (La Haye, Francia, 1596 - Estocolmo, Suecia, 1650) Filósofo y matemático francés. René Descartes se educó en el colegio jesuita de La Flèche (1604-1612), donde gozó de un cierto trato de favor en atención a su delicada salud.
Obtuvo el título de bachiller y de licenciado en derecho por la facultad de Poitiers (1616), y a los veintidós años partió hacia los Países Bajos, donde sirvió como soldado en el ejército de Mauricio de Nassau. En 1619 se enroló en las filas del duque de Baviera; el 10 de noviembre, en el curso de tres sueños sucesivos, René Descartes experimentó la famosa «revelación» que lo condujo a la elaboración de su método.René Descartes
(La Haye, Francia, 1596 - Estocolmo, Suecia, 1650) Filósofo y matemático francés. René Descartes se educó en el colegio jesuita de La Flèche (1604-1612), donde gozó de un cierto trato de favor en atención a su delicada salud.
Obtuvo el título de bachiller y de licenciado en derecho por la facultad de Poitiers (1616), y a los veintidós años partió hacia los Países Bajos, donde sirvió como soldado en el ejército de Mauricio de Nassau. En 1619 se enroló en las filas del duque de Baviera; el 10 de noviembre, en el curso de tres sueños sucesivos, René Descartes experimentó la famosa «revelación» que lo condujo a la elaboración de su método.Tras renunciar a la vida militar, Descartes viajó por Alemania y los Países Bajos y regresó a Francia en 1622, para vender sus posesiones y asegurarse así una vida independiente; pasó una temporada en Italia (1623-1625) y se afincó luego en París, donde se relacionó con la mayoría de científicos de la época. En 1628 decidió instalarse en los Países Bajos lugar que consideró más favorable para cumplir los objetivos filosóficos y científicos que se había fijado, y residió allí hasta 1649.
Los cinco primeros años los dedicó principalmente a elaborar su propio sistema del mundo y su concepción del hombre y del cuerpo humano, que estaba a punto de completar en 1633 cuando, al tener noticia de la condena de Galileo, renunció a la publicación de su obra, que tendría lugar póstumamente.
En 1637 apareció su famoso Discurso del método, presentado como prólogo a tres ensayos científicos. Descartes proponía una duda metódica, que sometiese a juicio todos los conocimientos de la época, aunque, a diferencia de los escépticos, la suya era una duda orientada a la búsqueda de principios últimos sobre los cuales cimentar sólidamente el saber.
Este principio lo halló en la existencia de la propia conciencia que duda, en su famosa formulación «pienso, luego existo». Sobre la base de esta primera evidencia, pudo desandar en parte el camino de su escepticismo, hallando en Dios el garante último de la verdad de las evidencias de la razón, que se manifiestan como ideas «claras y distintas».
Gottfried Wilhelm Leibniz(Leipzig, actual Alemania, 1646-Hannover, id., 1716) Filósofo y matemático alemán. Su padre, profesor de filosofía moral en la Universidad de Leipzig, falleció cuando Leibniz contaba seis años. Capaz de escribir poemas en latín a los ocho años, a los doce empezó a interesarse por la lógica aristotélica a través del estudio de la filosofía escolástica.
En 1661 ingresó en la universidad de su ciudad natal para estudiar leyes, y dos años después se trasladó a la Universidad de Jena, donde estudió matemáticas con E. Weigel. En 1666, la Universidad de Leipzig rechazó, a causa de su juventud, concederle el título de doctor, que Leibniz obtuvo sin embargo en Altdorf; tras rechazar el ofrecimiento que allí se le hizo de una cátedra, en 1667 entró al servicio del arzobispo elector de Maguncia como diplomático, y en los años siguientes desplegó una intensa actividad en los círculos cortesanos y eclesiásticos.En 1672 fue enviado a París con la misión de disuadir a Luis XIV de su propósito de invadir Alemania; aunque fracasó en la embajada, Leibniz permaneció cinco años en París, donde desarrolló una fecunda labor intelectual. De esta época datan su invención de una máquina de calcular capaz de realizar las operaciones de multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas, así como la elaboración de las bases del cálculo infinitesimal.
En 1676 fue nombrado bibliotecario del duque de Hannover, de quien más adelante sería consejero, además de historiador de la casa ducal. A la muerte de Sofía Carlota (1705), la esposa del duque, con quien Leibniz tuvo amistad, su papel como consejero de príncipes empezó a declinar. Dedicó sus últimos años a su tarea de historiador y a la redacción de sus obras filosóficas más importantes, que se publicaron póstumamente.
Representante por excelencia del racionalismo, Leibniz situó el criterio de verdad del conocimiento en su necesidad intríseca y no en su adecuación con la realidad; el modelo de esa necesidad lo proporcionan las verdades analíticas de las matemáticas. Junto a estas verdades de razón, existen las verdades de hecho, que son contingentes y no manifiestan por sí mismas su verdad.
El problema de encontrar un fundamento racional para estas últimas lo resolvió afirmando que su contingencia era consecuencia del carácter finito de la mente humana, incapaz de analizarlas por entero en las infinitas determinaciones de los conceptos que en ellas intervienen, ya que cualquier cosa concreta, al estar relacionada con todas las demás siquiera por ser diferente de ellas, posee un conjunto de propiedades infinito. Frente a la física cartesiana de la extensión, Leibniz defendió una física de la energía, ya que ésta es la que hace posible el movimiento. Los elementos últimos que componen la realidad son las mónadas, puntos inextensos de naturaleza espiritual, con capacidad de percepción y actividad, que, aun siendo simples, poseen múltiples atributos; cada una de ellas recibe su principio activo y cognoscitivo de Dios, quien en el acto de la creación estableció una armonía entre todas las mónadas. Esta armonía preestablecida se manifiesta en la relación causal entre fenómenos, así como en la concordancia entre el pensamiento racional y las leyes que rigen la naturaleza.
Las contribuciones de Leibniz en el campo del cálculo infinitesimal, efectuadas con independencia de los trabajos de Newton, así como en el ámbito del análisis combinatorio, fueron de enorme valor. Introdujo la notación actualmente utilizada en el cálculo diferencial e integral. Los trabajos que inició en su juventud, la búsqueda de un lenguaje perfecto que reformara toda la ciencia y permitiese convertir la lógica en un cálculo, acabaron por desempeñar un papel decisivo en la fundación de la moderna lógica simbólica.
Leonhard Euler (Basilea, Suiza, 1707-San Petersburgo, 1783) Matemático suizo. Las facultades que desde temprana edad demostró para las matemáticas pronto le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en la Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institución en 1723, cuatro años más tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidió con otro miembro de la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relevó en la cátedra de matemáticas. A causa de su extrema dedicación al trabajo, dos años más tarde perdió la visión del ojo derecho, hecho que no afectó ni a la calidad ni al número de sus hallazgos. Hasta 1741, año en que por invitación de Federico el Grande se trasladó a la Academia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólo gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos de demostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos), que convirtió en una herramienta de fácil aplicación a problemas de física. Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría luego con otros resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales), además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas (introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmos naturales).
En 1748 publicó la obra Introductio in analysim infinitorum, en la que expuso el concepto de función en el marco del análisis matemático, campo en el que así mismo contribuyó de forma decisiva con resultados como el teorema sobre las funciones homogéneas y la teoría de la convergencia. En el ámbito de la geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominada identidad de Euler; a él se debe la moderna tendencia a representar cuestiones matemáticas y físicas en términos aritméticos. En el terreno del álgebra obtuvo así mismo resultados destacados, como el de la reducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y el de la determinación de la constante que lleva su nombre. A lo largo de sus innumerables obras, tratados y publicaciones introdujo gran número de nuevas técnicas y contribuyó sustancialmente a la moderna notación matemática de conceptos como función, suma de los divisores de un número y expresión del número imaginario raíz de menos uno. También se ocupó de la teoría de números, campo en el cual su mayor aportación fue la ley de la reciprocidad cuadrática, enunciada en 1783.
A raíz de ciertas tensiones con su patrón Federico el Grande, regresó nuevamente a Rusia en 1766, donde al poco de llegar perdió la visión del otro ojo. A pesar de ello, su memoria privilegiada y su prodigiosa capacidad para el tratamiento computacional de los problemas le permitieron continuar su actividad científica; así, entre 1768 y 1772 escribió sus Lettres à une princesse d’Allemagne, en las que expuso concisa y claramente los principios básicos de la mecánica, la óptica, la acústica y la astrofísica de su tiempo.
De sus trabajos sobre mecánica destacan, entre los dedicados a la mecánica de fluidos, la formulación de las ecuaciones que rigen su movimiento y su estudio sobre la presión de una corriente líquida, y, en relación a la mecánica celeste, el desarrollo de una solución parcial al problema de los tres cuerpos –resultado de su interés por perfeccionar la teoría del movimiento lunar–, así como la determinación precisa del centro de las órbitas elípticas planetarias, que identificó con el centro de la masa solar. Tras su muerte, se inició un ambicioso proyecto para publicar la totalidad de su obra científica, compuesta por más de ochocientos tratados, lo cual lo convierte en el matemático más prolífico de la historia.
Joseph-Louis de Lagrange (Turín, 1736-París, 1813) Matemático francés de origen italiano. Estudió en su ciudad natal y hasta los diecisiete años no mostró ninguna aptitud especial para las matemáticas. Sin embargo, la lectura de una obra del astrónomo inglés Edmund Halley despertó su interés y, tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático consumado. Nombrado profesor de la Escuela de Artillería, en 1758 fundó una sociedad, con la ayuda de sus alumnos, que fue incorporada a la Academia de Turín.
En su obra Miscellanea taurinensia, escrita por aquellos años, obtuvo, entre otros resultados, una ecuación diferencial general del movimiento y su adaptación para el caso particular del movimiento rectilíneo y la solución a muchos problemas de dinámica mediante el cálculo de variantes. Escribió así mismo numerosos artículos sobre cálculo integral y las ecuaciones diferenciales generales del movimiento de tres cuerpos sometidos a fuerzas de atracción mutuas.
A principios de 1760 era ya uno de los matemáticos más respetados de Europa, a pesar del flagelo de una salud extremadamente débil. Su siguiente trabajo sobre el equilibrio lunar, donde razonaba la causa de que la Luna siempre mostrara la misma cara, le supuso la concesión, en 1764, de un premio por la Academia de Ciencias de París. Hasta que se trasladó a la capital francesa en 1787, escribió gran variedad de tratados sobre astronomía, resolución de ecuaciones, cálculo de determinantes de segundo y tercer orden, ecuaciones diferenciales y mecánica analítica. En 1795 se le concedió una cátedra en la recién fundada École Normale, que ocupó tan solo durante cuatro meses. Dos años más tarde, tras la creación de la École Polytechnique, Lagrange fue nombrado profesor, y quienes asistieron a sus clases las describieron como «perfectas en forma y contenido». Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial forman la base de sus obras Teoría de las funciones analíticas y Resolución de ecuaciones numéricas (1798). En 1810 inició una revisión de su Teoría, pero sólo pudo concluir dos terceras partes antes de su muerte.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Düren, actual Alemania, 1805-Gotinga, id., 1859) Matemático alemán. Cursó sus estudios en París, relacionándose con matemáticos como Fourier. Tras graduarse, fue profesor en las universidades de Breslau (1826-1828), Berlín (1828-1855) y Gotinga, en donde ocupó la cátedra dejada por Gauss tras su muerte. Sus aportaciones más relevantes se centraron en el campo de la teoría de los números, prestando especial atención al estudio de las series, y desarrolló la teoría de las series de Fourier. Consiguió una demostración particular del problema de Fermat, aplicó las funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos y estableció criterios de convergencia para las series. En el campo del análisis matemático perfeccionó la definición y concepto de función, y en mecánica teórica se centró en el estudio del equilibrio de sistemas y en el concepto de potencial newtoniano.
Ptolomeo propuso el sistema geocéntrico como la base de la mecánica celeste que perduró por mas de 1400 años.Nació en Egipto aproximadamente en el año 85 d.C. y murió en Alejandría en el año 165 d.C.Las obras mas importantes de Ptolomeo son: El Almagesto cuyo titulo original era Colección Matemática y, posteriormente, Gran Compilación, pero que desde siempre se ha conocido por su traducción al Árabe. En esta obra presenta la teoría geocéntrica que se mantuvo hasta la critica realizada por Nicolas Copernico en su libro De revolutionibus (1543), y que posteriormente fue reforzada y ampliada por Galileo y Kepler.Publicó unas tablas derivadas de las teorías del Almagesto pero independientemente llamadas Tablas de mano las cuales solo se conocen por referencias escritas.Oresme, hacia 1325 - Lisieux, 1382) Matemático y astrónomo francés. Estudió Teología en París, donde sabemos que se encontraba en 1348. En 1356 era "magister" en el Colegio de Navarra (París) y a continuación obtuvo el grado de "magister theologiae". Canónigo en Ruán y en París, fue obispo de Lisieux a partir de 1377.Este singular escolástico y teólogo de la Baja Edad Media es famoso por la genialidad y la modernidad de sus gustos científicos y culturales. Cultivador de la "geometría especulativa" en el Tratado de la latitud de las formas, en el Algorismo de las proporciones, en el De difformitate quantitatum (1370) y en otros trabajos todavía inéditos, anticipa muchos aspectos de la matemática moderna, como la representación analítica de las variaciones intensivas mediante el método de las coordinadas, el tratado de los irracionales mediante potencias con exponente fraccionario y el espacio cuatridimensional. Como físico, considera posible el movimiento diurno de la Tierra, y descubrió que el movimiento de los graves es uniformemente acelerado.
Galileo galilei Pisa, actual Italia, 1564-Arcetri, id., 1642) Físico y astrónomo italiano. Fue el primogénito del florentino Vincenzo Galilei, músico por vocación aunque obligado a dedicarse al comercio para sobrevivir. En 1574 la familia se trasladó a Florencia, y Galileo fue enviado un tiempo –quizá como novicio– al monasterio de Santa Maria di Vallombrosa, hasta que, en 1581, su padre lo matriculó como estudiante de medicina en la Universidad de Pisa. Pero en 1585, tras haberse iniciado en las matemáticas fuera de las aulas, abandonó los estudios universitarios sin obtener ningún título, aunque sí había adquirido gusto por la filosofía y la literatura.En 1589 consiguió una plaza, mal remunerada, en el Estudio de Pisa. Allí escribió un texto sobre el movimiento, que mantuvo inédito, en el cual criticaba los puntos de vista de Aristóteles acerca de la caída libre de los graves y el movimiento de los proyectiles; una tradición apócrifa, pero muy divulgada, le atribuye haber ilustrado sus críticas con una serie de experimentos públicos realizados desde lo alto del Campanile de Pisa.
En 1592 pasó a ocupar una cátedra de matemáticas en Padua e inició un fructífero período de su vida científica: se ocupó de arquitectura militar y de topografía, realizó diversas invenciones mecánicas, reemprendió sus estudios sobre el movimiento y descubrió el isocronismo del péndulo. En 1599 se unió a la joven veneciana Marina Gamba, de quien se separó en 1610 tras haber tenido con ella dos hijas y un hijo.
En julio de 1609 visitó Venecia y tuvo noticia de la fabricación del anteojo, a cuyo perfeccionamiento se dedicó, y con el cual realizó las primeras observaciones de la Luna; descubrió también cuatro satélites de Júpiter y observó las fases de Venus, fenómeno que sólo podía explicarse si se aceptaba la hipótesis heliocéntrica de Copérnico. Galileo publicó sus descubrimientos en un breve texto, El mensajero sideral, que le dio fama en toda Europa y le valió la concesión de una cátedra honoraria en Pisa.
En 1611 viajó a Roma, donde el príncipe Federico Cesi lo hizo primer miembro de la Accademia dei Lincei, fundada por él, y luego patrocinó la publicación (1612) de las observaciones de Galileo sobre las manchas solares. Pero la profesión de copernicanismo contenida en el texto provocó una denuncia ante el Santo Oficio; en 1616, tras la inclusión en el Índice de libros prohibidos de la obra de Copérnico, Galileo fue advertido de que no debía exponer públicamente las tesis condenadas. Su silencio no se rompió hasta que, en 1623, alentado a raíz de la elección del nuevo papa Urbano VIII, publicó El ensayador, donde expuso sus criterios metodológicos y, en particular, su concepción de las matemáticas como lenguaje de la naturaleza. La benévola acogida del libro por parte del pontífice lo animó a completar la gran obra con la que pretendía poner punto final a la controversia sobre los sistemas astronómicos, y en 1632 apareció, finalmente, su Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo; la crítica a la distinción aristotélica entre física terrestre y física celeste, la enunciación del principio de la relatividad del movimiento, así como el argumento del flujo y el reflujo del mar presentado (erróneamente) como prueba del movimiento de la Tierra, hicieron del texto un verdadero manifiesto copernicano.
El Santo Oficio abrió un proceso a Galileo que terminó con su condena a prisión perpetua, pena suavizada al permitírsele que la cumpliera en su villa de Arcetri. Allí transcurrieron los últimos años de su vida, ensombrecidos por la muerte de su hija Virginia, por la ceguera y por una salud cada vez más quebrantada. Consiguió, con todo, acabar la última de sus obras, los Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias, donde, a partir de la discusión sobre la estructura y la resistencia de los materiales, demostró las leyes de caída de los cuerpos en el vacío y elaboró una teoría completa sobre el movimiento de los proyectiles. El análisis galileano del movimiento sentó las bases físicas y matemáticas sobre las que los científicos de la siguiente generación edificaron la mecánica física.
René Descartes (La Haye, Francia, 1596 - Estocolmo, Suecia, 1650) Filósofo y matemático francés. René Descartes se educó en el colegio jesuita de La Flèche (1604-1612), donde gozó de un cierto trato de favor en atención a su delicada salud.Obtuvo el título de bachiller y de licenciado en derecho por la facultad de Poitiers (1616), y a los veintidós años partió hacia los Países Bajos, donde sirvió como soldado en el ejército de Mauricio de Nassau. En 1619 se enroló en las filas del duque de Baviera; el 10 de noviembre, en el curso de tres sueños sucesivos, René Descartes experimentó la famosa «revelación» que lo condujo a la elaboración de su método.René Descartes
(La Haye, Francia, 1596 - Estocolmo, Suecia, 1650) Filósofo y matemático francés. René Descartes se educó en el colegio jesuita de La Flèche (1604-1612), donde gozó de un cierto trato de favor en atención a su delicada salud.
Obtuvo el título de bachiller y de licenciado en derecho por la facultad de Poitiers (1616), y a los veintidós años partió hacia los Países Bajos, donde sirvió como soldado en el ejército de Mauricio de Nassau. En 1619 se enroló en las filas del duque de Baviera; el 10 de noviembre, en el curso de tres sueños sucesivos, René Descartes experimentó la famosa «revelación» que lo condujo a la elaboración de su método.Tras renunciar a la vida militar, Descartes viajó por Alemania y los Países Bajos y regresó a Francia en 1622, para vender sus posesiones y asegurarse así una vida independiente; pasó una temporada en Italia (1623-1625) y se afincó luego en París, donde se relacionó con la mayoría de científicos de la época. En 1628 decidió instalarse en los Países Bajos lugar que consideró más favorable para cumplir los objetivos filosóficos y científicos que se había fijado, y residió allí hasta 1649.
Los cinco primeros años los dedicó principalmente a elaborar su propio sistema del mundo y su concepción del hombre y del cuerpo humano, que estaba a punto de completar en 1633 cuando, al tener noticia de la condena de Galileo, renunció a la publicación de su obra, que tendría lugar póstumamente.
En 1637 apareció su famoso Discurso del método, presentado como prólogo a tres ensayos científicos. Descartes proponía una duda metódica, que sometiese a juicio todos los conocimientos de la época, aunque, a diferencia de los escépticos, la suya era una duda orientada a la búsqueda de principios últimos sobre los cuales cimentar sólidamente el saber.
Este principio lo halló en la existencia de la propia conciencia que duda, en su famosa formulación «pienso, luego existo». Sobre la base de esta primera evidencia, pudo desandar en parte el camino de su escepticismo, hallando en Dios el garante último de la verdad de las evidencias de la razón, que se manifiestan como ideas «claras y distintas».
Gottfried Wilhelm Leibniz(Leipzig, actual Alemania, 1646-Hannover, id., 1716) Filósofo y matemático alemán. Su padre, profesor de filosofía moral en la Universidad de Leipzig, falleció cuando Leibniz contaba seis años. Capaz de escribir poemas en latín a los ocho años, a los doce empezó a interesarse por la lógica aristotélica a través del estudio de la filosofía escolástica.En 1661 ingresó en la universidad de su ciudad natal para estudiar leyes, y dos años después se trasladó a la Universidad de Jena, donde estudió matemáticas con E. Weigel. En 1666, la Universidad de Leipzig rechazó, a causa de su juventud, concederle el título de doctor, que Leibniz obtuvo sin embargo en Altdorf; tras rechazar el ofrecimiento que allí se le hizo de una cátedra, en 1667 entró al servicio del arzobispo elector de Maguncia como diplomático, y en los años siguientes desplegó una intensa actividad en los círculos cortesanos y eclesiásticos.En 1672 fue enviado a París con la misión de disuadir a Luis XIV de su propósito de invadir Alemania; aunque fracasó en la embajada, Leibniz permaneció cinco años en París, donde desarrolló una fecunda labor intelectual. De esta época datan su invención de una máquina de calcular capaz de realizar las operaciones de multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas, así como la elaboración de las bases del cálculo infinitesimal.
En 1676 fue nombrado bibliotecario del duque de Hannover, de quien más adelante sería consejero, además de historiador de la casa ducal. A la muerte de Sofía Carlota (1705), la esposa del duque, con quien Leibniz tuvo amistad, su papel como consejero de príncipes empezó a declinar. Dedicó sus últimos años a su tarea de historiador y a la redacción de sus obras filosóficas más importantes, que se publicaron póstumamente.
Representante por excelencia del racionalismo, Leibniz situó el criterio de verdad del conocimiento en su necesidad intríseca y no en su adecuación con la realidad; el modelo de esa necesidad lo proporcionan las verdades analíticas de las matemáticas. Junto a estas verdades de razón, existen las verdades de hecho, que son contingentes y no manifiestan por sí mismas su verdad.
El problema de encontrar un fundamento racional para estas últimas lo resolvió afirmando que su contingencia era consecuencia del carácter finito de la mente humana, incapaz de analizarlas por entero en las infinitas determinaciones de los conceptos que en ellas intervienen, ya que cualquier cosa concreta, al estar relacionada con todas las demás siquiera por ser diferente de ellas, posee un conjunto de propiedades infinito. Frente a la física cartesiana de la extensión, Leibniz defendió una física de la energía, ya que ésta es la que hace posible el movimiento. Los elementos últimos que componen la realidad son las mónadas, puntos inextensos de naturaleza espiritual, con capacidad de percepción y actividad, que, aun siendo simples, poseen múltiples atributos; cada una de ellas recibe su principio activo y cognoscitivo de Dios, quien en el acto de la creación estableció una armonía entre todas las mónadas. Esta armonía preestablecida se manifiesta en la relación causal entre fenómenos, así como en la concordancia entre el pensamiento racional y las leyes que rigen la naturaleza.
Las contribuciones de Leibniz en el campo del cálculo infinitesimal, efectuadas con independencia de los trabajos de Newton, así como en el ámbito del análisis combinatorio, fueron de enorme valor. Introdujo la notación actualmente utilizada en el cálculo diferencial e integral. Los trabajos que inició en su juventud, la búsqueda de un lenguaje perfecto que reformara toda la ciencia y permitiese convertir la lógica en un cálculo, acabaron por desempeñar un papel decisivo en la fundación de la moderna lógica simbólica.
Leonhard Euler (Basilea, Suiza, 1707-San Petersburgo, 1783) Matemático suizo. Las facultades que desde temprana edad demostró para las matemáticas pronto le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en la Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institución en 1723, cuatro años más tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidió con otro miembro de la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relevó en la cátedra de matemáticas. A causa de su extrema dedicación al trabajo, dos años más tarde perdió la visión del ojo derecho, hecho que no afectó ni a la calidad ni al número de sus hallazgos. Hasta 1741, año en que por invitación de Federico el Grande se trasladó a la Academia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólo gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos de demostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos), que convirtió en una herramienta de fácil aplicación a problemas de física. Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría luego con otros resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales), además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas (introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmos naturales).En 1748 publicó la obra Introductio in analysim infinitorum, en la que expuso el concepto de función en el marco del análisis matemático, campo en el que así mismo contribuyó de forma decisiva con resultados como el teorema sobre las funciones homogéneas y la teoría de la convergencia. En el ámbito de la geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominada identidad de Euler; a él se debe la moderna tendencia a representar cuestiones matemáticas y físicas en términos aritméticos. En el terreno del álgebra obtuvo así mismo resultados destacados, como el de la reducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y el de la determinación de la constante que lleva su nombre. A lo largo de sus innumerables obras, tratados y publicaciones introdujo gran número de nuevas técnicas y contribuyó sustancialmente a la moderna notación matemática de conceptos como función, suma de los divisores de un número y expresión del número imaginario raíz de menos uno. También se ocupó de la teoría de números, campo en el cual su mayor aportación fue la ley de la reciprocidad cuadrática, enunciada en 1783.
A raíz de ciertas tensiones con su patrón Federico el Grande, regresó nuevamente a Rusia en 1766, donde al poco de llegar perdió la visión del otro ojo. A pesar de ello, su memoria privilegiada y su prodigiosa capacidad para el tratamiento computacional de los problemas le permitieron continuar su actividad científica; así, entre 1768 y 1772 escribió sus Lettres à une princesse d’Allemagne, en las que expuso concisa y claramente los principios básicos de la mecánica, la óptica, la acústica y la astrofísica de su tiempo.
De sus trabajos sobre mecánica destacan, entre los dedicados a la mecánica de fluidos, la formulación de las ecuaciones que rigen su movimiento y su estudio sobre la presión de una corriente líquida, y, en relación a la mecánica celeste, el desarrollo de una solución parcial al problema de los tres cuerpos –resultado de su interés por perfeccionar la teoría del movimiento lunar–, así como la determinación precisa del centro de las órbitas elípticas planetarias, que identificó con el centro de la masa solar. Tras su muerte, se inició un ambicioso proyecto para publicar la totalidad de su obra científica, compuesta por más de ochocientos tratados, lo cual lo convierte en el matemático más prolífico de la historia.
Joseph-Louis de Lagrange (Turín, 1736-París, 1813) Matemático francés de origen italiano. Estudió en su ciudad natal y hasta los diecisiete años no mostró ninguna aptitud especial para las matemáticas. Sin embargo, la lectura de una obra del astrónomo inglés Edmund Halley despertó su interés y, tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático consumado. Nombrado profesor de la Escuela de Artillería, en 1758 fundó una sociedad, con la ayuda de sus alumnos, que fue incorporada a la Academia de Turín.
En su obra Miscellanea taurinensia, escrita por aquellos años, obtuvo, entre otros resultados, una ecuación diferencial general del movimiento y su adaptación para el caso particular del movimiento rectilíneo y la solución a muchos problemas de dinámica mediante el cálculo de variantes. Escribió así mismo numerosos artículos sobre cálculo integral y las ecuaciones diferenciales generales del movimiento de tres cuerpos sometidos a fuerzas de atracción mutuas.
A principios de 1760 era ya uno de los matemáticos más respetados de Europa, a pesar del flagelo de una salud extremadamente débil. Su siguiente trabajo sobre el equilibrio lunar, donde razonaba la causa de que la Luna siempre mostrara la misma cara, le supuso la concesión, en 1764, de un premio por la Academia de Ciencias de París. Hasta que se trasladó a la capital francesa en 1787, escribió gran variedad de tratados sobre astronomía, resolución de ecuaciones, cálculo de determinantes de segundo y tercer orden, ecuaciones diferenciales y mecánica analítica. En 1795 se le concedió una cátedra en la recién fundada École Normale, que ocupó tan solo durante cuatro meses. Dos años más tarde, tras la creación de la École Polytechnique, Lagrange fue nombrado profesor, y quienes asistieron a sus clases las describieron como «perfectas en forma y contenido». Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial forman la base de sus obras Teoría de las funciones analíticas y Resolución de ecuaciones numéricas (1798). En 1810 inició una revisión de su Teoría, pero sólo pudo concluir dos terceras partes antes de su muerte.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Düren, actual Alemania, 1805-Gotinga, id., 1859) Matemático alemán. Cursó sus estudios en París, relacionándose con matemáticos como Fourier. Tras graduarse, fue profesor en las universidades de Breslau (1826-1828), Berlín (1828-1855) y Gotinga, en donde ocupó la cátedra dejada por Gauss tras su muerte. Sus aportaciones más relevantes se centraron en el campo de la teoría de los números, prestando especial atención al estudio de las series, y desarrolló la teoría de las series de Fourier. Consiguió una demostración particular del problema de Fermat, aplicó las funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos y estableció criterios de convergencia para las series. En el campo del análisis matemático perfeccionó la definición y concepto de función, y en mecánica teórica se centró en el estudio del equilibrio de sistemas y en el concepto de potencial newtoniano.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)